Измеримое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Измеримое пространство — это пара , где  — множество, а  — некоторая -алгебра его подмножеств.[1]

Основные сведения

[править | править код]

Под измеримым топологическим пространством понимается измеримое пространство , в котором выбрана  — алгебра , порождённая некоторой базой множеств топологического пространства X. Минимальная  — алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской  — алгеброй пространства X; при этом множества называются борелевскими.

Измеримое пространство называется сепарабельным, если существует некоторая счётная система множеств , отделяющая точки пространства и порождающая соответствующую  — алгебру . Говорят, что система множеств , отделяет точки пространства , если для любых найдутся непересекающиеся множества такие, что .

Произведением измеримых пространств и называется измеримое пространство , , в котором  — алгебра , порождена произведением  — алгебр и , то есть порождается полукольцом всевозможных прямоугольных множеств вида , где , .

Пусть  — некоторое измеримое пространство, а конечное множество индексов . Измеримое пространство , где является - кратным произведением пространства само на себя, а  — алгебра есть - кратное произведение соответствующих  — алгебр , называется измеримым координатным пространством. Точки этого пространства задаются координатами . Если произвольное множество, то координатное пространство определяется как совокупность всех функций на множестве со значениями в пространстве (отдельные значения можно интерпретировать как координаты точки , принадлежащей пространству ).

Пусть  — произвольные точки множества , где - конечное число, и  — произвольные подмножества пространства . Множество вида

,

принадлежащие пространству , называется цилиндрическим множеством в . Другими словами, цилиндрическое множество состоит из тех и только тех точек , координаты которых входит в соответствующие множества . Система всех цилиндрических множеств, для которых входят в  — алгебру пространства , представляют собой полукольцо . Измеримым координатным пространством называется пространство с  — алгеброй , порождённой полукольцом .

Пусть ,  —  — алгебра, порождённая полукольцом всевозможных цилиндрических множеств с произвольными индексами . Если точка пространства входит во множество из и другая точка такова, что соответствующие координаты этих точек совпадают: при всех , то также входит в . Всякое множество A из  — алгебры принадлежит одновременно некоторой  — алгебры , где - некоторое счётное множество (зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого множества S).

Пусть  — функция на измеримом пространстве со значениями в произвольном пространстве . Совокупность всех множеств таких, что прообразы входят в -алгебру пространства является -алгеброй.

Пусть произвольное пространство и  — функция на со значениями в измеримом пространстве . Совокупность всех множеств являющихся прообразами из  — алгебры : является -алгеброй.

Пусть ,  — измеримые пространства. Функция называется () измеримой, если для прообраз входит в -алгебру . Если некоторая система множеств, порождающая -алгебру , то функция является измеримой тогда, и только тогда, когда для любого прообраз входит в .

Примечание

[править | править код]
  1. 1 2 Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.